Investigación de Sierpinski. (Pablo.S y Jaime)

Wacław Franciszek Sierpiński (Varsovia, 14 de marzo de 1882 - Ibídem, 21 de octubre de 1969) fue un matemático polaco.¹​ Son notables sus aportaciones a la teoría de conjuntos, la teoría de números, la topología y la teoría de funciones. En la teoría de conjuntos realizó importantes contribuciones para el axioma de elección y la hipótesis del continuo. Estudió la teoría de la curva que describe un camino cerrado que contiene todos los puntos interiores de un cuadrado. Publicó más de 700 trabajos y 50 libros.²​

Tres conocidos fractales llevan su nombre: el triángulo de Sierpinski, la alfombra de Sierpinski y la curva de Sierpinski. También los números de Sierpinski en teoría de números han sido nombrados así en su honor.²

EL TRIÁNGULO DE SIERPINSKI

El triángulo de Sierpiński es un fractal que se puede construir a partir de cualquier triángulo.Como en la mayoría de los fractales, existen varias maneras de obtener la misma figura (triángulos). En este caso, todos los procesos implican las tres homotecias centradas en los vértices del triángulo, de razón 1/2. 

Es fácil observar que esta figura contiene tres reducciones de sí misma: El triángulo ADE con todo su contenido es una reducción exacta del triángulo ABC, y lo mismo se puede decir de CDF y de BEF. Estos tres clonos son justamente las imágenes de ABC . Y como no quedan puntos del fractal fuera de estas tres reducciones, se puede escribir (T designa el triángulo de Sierpiński):

En otras palabras, T es invariable por la aplicación del plano definida así:(f(M) = {h_a(M), h_b(M), h_c(M)},) donde M es un punto cualquiera del plano. Esta aplicación es más abstracta de lo que parece pues su conjunto de llegada (codominio) no es el plano mismo sino las partes de él, o sea el conjunto de todas las figuras posibles del plano. Se puede extender el dominio de f a las partes del plano así: f(F) = h_a(F) ∪ h_b(F) ∪ h_c(F) donde F es una figura cualquiera del plano.
Visto así, T es un punto fijo de f. El único, aparte del conjunto vacío, de escaso interés geométrico.
T es también un atractor de la aplicación f: si se considera una figura (de preferencia sencilla) T₀, y se construyen su imágenes sucesivas (T₁ = f(T₀), T₂ = f(T₁) = f ²(T₀) ... T_n = f ⁿ(T₀)...) entonces la sucesión T_n se aproxima al triángulo de Sierpiński.

Paso Inicial (0): Construimos un triángulo equilátero de lado a: 

Paso 1: Uno los puntos medios de los lados y resulta la siguiente figura: 

 Tres triángulos equiláteros sombreados y un hueco que es otro triángulo equilátero. 

Paso 2 : Repetimos el proceso en cada uno de los triángulos sombreados y obtengo la 

siguiente figura: 

Paso 3: Repetimos lo mismo en cada uno de los triángulos equiláteros sombreados 

obteniendo la figura siguiente.